Worum geht es dir eigentlich? Internet ist kein rechtsfreier Raum und je nachdem was jemand auf FB erkennbar über identifizierbare Personen geschrieben hat, kann das sogar ein Grund für eine außerordentliche Kündigung sein meines Wissens nach. Gibt mittlerweile einiges auch an Rechtsprechung dazu. Indianer hat dir da schon ganz recht gepostet. Weswegen ich nicht verstehe, was du für ein Problem mit dem Post hast. Wenn es um Beleidigungen, Verleumdung ggf. u.ä. geht, ist das ggf. sogar ein Straftatbestand, der gegenüber dem AG begangen wird. Weil davon auszugehen ist, dass das Vertrauensverhältnis dadurch erschüttert ist, sind wenigstens ordentliche Kündigungen grundsätzlich zulässig.
